Потребности архитекторов, дизайнеров и инженеров-проектировщиков в инновационном формообразовании ставят вопрос о движении в архитектуре. Стационарная архитектура не в состоянии реагировать на факторы окружающей среды.          Средства вычислительного проектирования помогли установить связь между параметрическим и имитационным моделированием, что позволило анализировать поведение сооружения в течение времени. [1]         Архитекторы могут оценить поведение объекта, будь то здание, город, ландшафт или инфраструктура. Открывается новый подход в архитектуре, основанный на динамическом развитии формообразования [2]. Идея производительности становится прецедентом для формирования поверхности, а архитектурная форма - перформативным аспектом.         Для сбора качественных и количественных аспектов эффективности архитектурных артефактов на ранних стадиях дизайна необходимо оптимизировать форму, используя различные вычислительные инструменты.         За последние 5 лет появилось множество монографий [3,4], научных статей [5,6], в которых анализируются возможности применения канонических и неканонических аналитических поверхностей, подразделяющихся на различные типы и подклассы.          В энциклопедии [7] представлены 500 поверхностей, заданных в параметрической, векторной и неявной формах, их которых не более 5% используются в архитектуре. Наиболее широко применяются поверхности вращения и пологие оболочки переноса, распространен гиперболоид, как формообразующая покрытия большепролетных сооружений. Менее популярны зонтичные поверхности и линейчатые поверхности различной гауссовой кривизны. Однако, современные тренды параметрической архитектуры отводят нас от использования статических поверхностей, выдвигая на первое место динамику. Стремление выработать наиболее оптимальное соотношение прочности и затраченного материала подводит к оценке перспектив использования минимальных и односторонних поверхностей.         Минимальная поверхность, у которой средняя кривизна равна нулю во всех точках, идеальна для тонкостенных конструкций. Поверхность сооружения должна быть замкнутой и определять целиком скелет здания. На замкнутой h-связной поверхности можно провести h-1 замкнутых кривых, не разбивающих поверхность. Поверхность, пересекающая саму себя, является односторонней поверхностью. Для наглядности представим, что вдоль замкнутой кривой на гладкой поверхности, находящейся в некотором пространстве, движется вектор нормали. Если при возвращении вектора в исходную точку его направление противоположно исходному, перед нами односторонняя замкнутая поверхность. Очевидно, что если вектор пройдет ещё один круг вдоль замкнутой кривой, то направление вектора совпадёт с исходным.         Простейшей односторонней поверхностью является лента Мебиуса. Для моделирования ленты Мебиуса достаточно взять длинную бумажную полоску и склеить противоположные концы, предварительно перевернув один из них. Лента Мебиуса является символом динамики формы, подчеркивая цикличность движения, и используется как международный символ переработки отходов. (рис 1.)Рис. 1. Международный символ переработки отходов в форме ленты Мебиуса         Если затрагивать вопросы экономичности и экологии объекта, то предложенные классы поверхностей позволяют создать тонкостенные оболочки, требующие минимальных затрат материала. Процесс формообразования объекта параметрической архитектуры и дальнейшей оптимизации обеспечен возможностью создания таких поверхностей в большинстве расчетных комплексов.          Такой подход предполагает создание структурного скелета из облегченных элементов, конструируя сложные узлы сопряжения, используя BIM-технологии [8].         Сооружения, использующие аналитические поверхности, считают уникальными с точки зрения формы, а не принятой классификации, заложенной в определение уникальных зданий в разных странах. Объекты параметрической архитектуры привлекают инвесторов, положительно влияют на развитие туризма. Для исследования применения поверхности Клейна к проектированию зданий и сооружений выполнен анализ минимальных и односторонних поверхностей. Выявлено, что поверхность Клейна в виде замкнутой односторонней поверхности без особых точек является идеальным отображением ленты Мебиуса в объеме. Существует несколько работ, посвященных исследованию математических свойств поверхности Клейна [9,10].Параметрическая форма задания поверхности Клейна: Классический вид соответствует следующим параметрам:        где nu и nv - количество шагов табуляции переменных u и v соответственно.Задание параметров поверхности выполнено в программном комплексе SCAD (рис 2).Рис. 2. Задание параметров аналитической поверхности На рис.3 представлена параметрическая поверхность, которая может быть использована при проектировании здания с атриумом внутри.Рис. 3. Параметрическая поверхность при а=2.1 При увеличении параметра а с постоянной табуляцией и диапазоном u и v, возрастает радиус внутреннего свободного пространства (рис.4).Рис. 4. Параметрическая поверхность при а=5 При отсутствии атриума следует снизить параметр а до значения, меньше либо равном 1. Уменьшение количества шагов табуляции nv до 10 позволяет упростить сетку элементов и получить качественно новую форму поверхности. Для сравнения объект параметрической архитектуры воспроизведен в ПК ЛИРА (САПФИР-3Д) (рис. 5).Рис. 5. Поверхность Клейна при а=1, nv=10 в ПК SCAD, ЛИРА соответственно  Уменьшение диапазона значений v в два раза позволяет получить форму, близкую к бионике. (рис. 6). Поверхность, параметр v которой принимает значения от 0 до π, симметрична по горизонтальной плоскости поверхности, параметр v которой принимает значения от π до 2π (рис 7). Рис. 6. Поверхность Клейна при а=2.1, 0≤v≤π в ПК SCAD, ЛИРА соответственно  Функциональное назначение полученного объекта параметрической архитектуры выставочное или торговое пространство, ведущее посетителей вдоль траектории развития поверхности.Рис. 7. Поверхность Клейна при а=2.1, π≤v≤2π в ПК ЛИРА  Отсюда следует, что при варьировании параметров u и v важна разность максимальных и минимальных значений параметров, а не их конкретные значения (рис 8).Рис. 8. Поверхность Клейна при а=2.1, -0.125π≤v≤1.25π в ПК ЛИРАПоверхности со значениями параметров, не кратными π, не представляют интереса для практического применения, так как выглядят незавершенными, что противоречит концепции бионики. Концепция бионики включает принцип минимизации затрат в реализуемых технических объектах и принцип разнообразия форм, который широко используется в параметрической архитектуре. Варьирование параметров аналитической поверхности неслучайно привело к формам, совпадающим с теми, что создала природа, копируя параметры живых организмов. Объект параметрической архитектуры предполагает разработку дополнительных оптимальных конструктивных решений каркаса.Концепция параметризма включает эволюцию архитектурных объектов в соответствии с жизненным циклом объектов живой природы. Отличие полученных форм поверхности Клейна в ПК SCAD и ЛИРА подчеркивает необходимость разработки современных комплексов, ресурсы которых могут быть использованы архитекторами и проектировщиками при развитии параметрической архитектуры.Эволюция поверхности Клейна демонстрирует поведение объекта параметрической архитектуры в динамике от простой ленты Мебиуса до бионической формы, являющейся инновационным способом представления пространства.Варьирование параметров поверхности Клейна позволило выявить многофункциональность, что дает основание для применения ее в качестве формообразующей к уникальным и перспективным объектам. Попытка применения поверхности Клейна к формообразованию зданий и сооружений предпринята впервые.Итак, исследовано формообразование поверхности Клейна в различных программных комплексах. Анализ результатов позволяет сделать вывод о том, что при варьировании параметров u и v важна разность максимальных и минимальных значений параметров, а не их конкретные значения. Поверхность Клейна может быть использована как при проектировании сооружений с большим внутренним свободным пространством, так и объектов, пространство которых задает направление траектории развития. Функциональное назначение зданий с аналитической поверхностью Клейна – выставочные и торговые павильоны, в которых обтекаемая форма сооружения обеспечивает оптимальную организацию потоков большого количества людей.В дальнейшем предполагается развитие концепции параметрической архитектуры в направлении совмещения аналитической поверхности и структурного скелета зданий и сооружений.