ВведениеОсновные положения теории гидравлических сетей были заложены В.Я. Хасилевым и А.П. Меренковым в шестидесятые годы прошлого века. Их идеи развиваются в работах их соратников и учеников. Исторически для решения задачи распределения потоков в гидравлических сетях предпочтение отдавалось методу контурных расходов (МКР). Даже для полностью разомкнутых сетей контуры создавались искусственно. Бесспорным преимуществом МКР перед методом узловых давлений (МУД) является значительно меньшая размерность системы уравнений. В МКР размерность равна количеству главных контуров, в МУД – количеству узлов с неизвестными давлениями. Преимуществом МУД перед МКР является то, что метод позволяет моделировать работу гидравлической сети любой конфигурации (с контурами, без контуров, с любым количеством узлов с заданным давлением) без дополнительного искусственного зацикливания сети.Переход на «умные» технологии требует моделирования работы гидравлических сетей в реальном времени. Это означает, что пользователь должен иметь возможность оперативно изменять режим эксплуатации сетью (открывать/закрывать запорные устройства, переключать насосы, подключать/отключать дополнительные источники и т.д.) и быстро получать результаты моделирования. Эти задачи равноценны по значимости. Первая задача – разработка интерфейса. Пользователь готов затратить много времени и сил на сбор и первичный ввод информации, но при этом корректировать данные оперативно. Вторая задача – собственно моделирование работы гидравлической сети. Основное требование - быстродействие для моделирования сетей реальных размеров. В статье рассматривается только вторая задача. MethodsПри известной топологии и параметрах гидравлической сети ее математическая модель строится на основании законов Кирхгофа:где A – матрица инцидентности; В – матрица главных контуров; S – диагональная матрица сопротивлений связей; |X| - диагональная матрица расходов на участках;   - вектор расходов в узлах;   - вектор действующих напоров на участках;  - вектор расходов на участках;  - вектор разностей давлений на участках;  - вектор давлений в узлах.После упрощения системы уравнений (1-4) узловая система уравнений приобретает вид:Итерационный процесс строится с использованием формулы:матрица Максвелла, вычисленная при текущем векторе расходов  - невязка в узле. Метод узловых давлений – это метод Ньютона, который, как известно, имеет высокую скорость сходимости только в окрестности точки решения. Выбор начального приближения для итерационного процесса очень важен. Рекомендации по решению этой проблемы не существуют.Для поиска начального приближения к решению системы уравнений (5-6) предлагается заменить зависимость (6) на линейную зависимость:Тогда начальное приближение   может быть найдено в результате решения системы линейных уравнений:где  матрица Максвелла, вычисленная при Таким образом, при вычислении начального приближения используется вся имеющаяся информация о топологии сети и текущих параметрах объектов. Не смотря на это, в некоторых случаях скорость сходимости не достаточно высока. Для обеспечения стабильной монотонной сходимости в формулу (7) вводят релаксационный множитель  , значение которого вычисляют на каждом шаге итерации. Такой подход существенно увеличивает время, затрачиваемое на одну итерацию. В теоретически обосновывается, что для положительно определенного Якобиана, для обеспечения монотонной сходимости достаточно выбирать  <1. Практический опыт автора позволил установить следующий ряд значений =0,5 для k < 6, = 0,6 для k < 8,  = 0,7 для k < 10,  =1 для . Данный подход обеспечивает сходимость процесса за максимум 15 итераций.На каждом шаге итерации необходимо решать систему линейных уравнений или обращать матрицу (8). По своей структуре матрица Максвелла (8) совпадает с матрицей смежности, которая для графов, моделирующих гидравлические сети, является разреженной. Для уменьшения времени, затрачиваемого на одну итерацию, узлы графа переномеровываются в соответствии с алгоритмом, что позволяет привести матрицу к ленточной форме с минимальной шириной ленты. Следующий шаг в оптимизации времени расчета – использование метода Холецкого для решения систем линейных уравнений с положительно определенными ленточными матрицами.Размерность решаемых задач стала такой большой, что предложенных способов оптимизации времени расчета уже не достаточно. В работах предлагаются разные способы уменьшения размерности решаемой задачи, одни из них не вносят дополнительной погрешности в результаты, другие способы вносят минимальную погрешность. В работах излагается идея упрощения задачи, но алгоритмы ее решения не приводятся.При разработке алгоритмов важна организация данных. В описанных ниже алгоритмах информация о топологии сети хранится в двумерном массиве, каждая строка которого соответствует участку сети, а столбцы содержат номера узлов, инцидентных участку.В процессе эксплуатации гидравлической сети происходит перекрытие задвижек. В результате чего, некоторые части сети могут оказаться отключенными от источника. Выявление подобных ситуаций необходимо делать автоматически.Высокоуровневое описание алгоритма выявления множества узлов, связанных с источником, представлено ниже.Connectivity_checkg – выделение узлов сети, связанных с источником (выявление связных компонент графа сети). Маркировать узел «Источник». Кол-во_маркированных_узлов = 1.Повторять пока Кол-во_маркированных_ узлов >0:Кол-во_маркированных_ узлов = 0Для каждого участка:Найти участок, у которого маркирован один из инцидентных ему узлов;Маркировать смежный узел; Кол-во_маркированных_ узлов увеличить на 1. В дальнейшем в расчетах рассматриваются только узлы, связанные с источником. На втором этапе происходит поиск и удаление из рассмотрения ненагруженных деревьев. Под ненагруженным деревом понимается граф, не имеющий циклов, для узлов которого вектор G=0. Высокоуровневое описание алгоритма представлено ниже. Unloaded_trees  - поиск ненагруженных деревьев.search for unloaded treesВычислить валентность всех узлов графа.Кол-во_маркированных_связей = 1.Повторять пока Кол-во_маркированных_связей >0:Кол-во_маркированных_ связей = 0Для каждого немаркированного участка:Если валентность одного из инцидентных связи узлов равна 1, он не имеет нагрузки и не является источником, то:валентность узлов, инцидентных связи, уменьшить на 1;связь маркировать;Кол-во_маркированных_связей увеличить 1. Дальнейшее упрощение расчетной схемы происходит за счет вычленения и удаления нагруженных деревьев из графа сети. Процесс начинается с терминальных узлов. В результате определяются расходы на всех участках и нагрузка корневого узла, которая  увеличивается на суммарную нагрузку всех узлов, вошедших в дерево (рисунок 1). Индексы всех узлов и связей, вошедших в нагруженные деревья, равны 1. После того, как найдено давление в корневом узле, находятся давления во всех узлах, принадлежащих дереву (модуль Unfurl). Высокоуровневое описание алгоритмов представлено ниже.Рисунок 1 Последовательность эквивалентирования нагруженных деревьев гидравлической сети a) – исходное состояние сети; b) перенос нагрузки в узлы 3 и 4; отсекаемые узлы - 1 и 2; c) перенос нагрузки в узел 4; отсекаемый узел 3; d) перенос нагрузки в узел S; отсекаемый узел 4. Furl – скручивание нагруженных деревьев.Вычислить валентность всех узлов графа.Кол-во_маркированных_связей = 1.Повторять пока Кол-во_маркированных_связей >0:Кол-во_маркированных_связей = 0Для каждой немаркированной связи j (i;k):Если валентность одного из инцидентных связи узлов равна 1, и он не является источником, то:Валентность обоих узлов уменьшить на 1;Связь маркировать;Присвоить индексу узла I значение 1;Кол-во_маркированных_связей увеличить на 1;Если отсекаемый узел – конец связи (k), то: присвоить значению расхода значение нагрузки отсекаемого узла увеличить значение нагрузки смежного узла на значение нагрузки отсекаемого узла Если отсекаемый узел – начало связи (i), то:присвоить значению расхода инверсное значение нагрузки отсекаемого узла уменьшить значение нагрузки смежного узла на значение нагрузки отсекаемого узла  Unfurl – раскручивание свернутых нагруженных деревьев. Кол-во_маркированных_связей = 1.Повторять пока Кол-во_маркированных_связей >0:Кол-во_маркированных_связей = 0.Для каждой немаркированной связи j (i;k) , принадлежащей дереву:Если индекс одного из инцидентных связи узлов равен 1 и он не маркирован, то:Вычислить давление в смежном узле по формуле:Маркировать смежный узел;Присвоить значение 1 индексу связи;Связь маркировать;Кол-во_маркированных_связей увеличить на 1. Эффективность применения модуля Furl зависит от типа сети и решаемой задачи. Например, наладочный расчет систем теплоснабжения производится при заданной тепловой нагрузке абонентов, которая пересчитывается в расчетные расходы теплоносителя. В этом случае большую часть сети, а в некоторых случаях и всю сеть, удается «свернуть».Графы, моделирующие расчетные схемы гидравлических сетей, могут содержать большое количество последовательных и параллельных связей. Эквивалентирование таких связей позволяет существенно уменьшить размерность решаемой системы уравнений.Последовательные ребра – ребра, инцидентные одному и тому же узлу, который не имеет нагрузки, степень которого равна 2. При замене двух последовательных связей одной (рисунок 2 a-b) на единицу уменьшается количество узлов и добавляется новая связь. Гидравлическое сопротивление новой связи равно сумме сопротивлений замененных связей.Параллельными связями называются связи, у которых совпадают пары инцидентных им узлов. Порядок перечисления узлов в паре не имеет значения. При замене двух параллельных связей одной не меняется количество узлов  и добавляется новая связь, гидравлическая проводимость которой равно сумме проводимостей замененных связей, соединяющая те же концевые узлы (рисунок 2 c-d).Процесс упрощения схемы начинается с поиска и эквивалентирования последовательных связей, затем происходит поиск и эквивалентирование параллельных связей, затем снова поиск последовательных связей, затем параллельных и так до тех пор, пока не останется последовательных и параллельных связей. Связи, инцидентные узлам, моделирующим насосы или регуляторы не эквивалентируются.  Рисунок 2 Эквивалентирование связей сети. a-b) последовательное соединение; c-d) параллельное соединение; a, c ) - исходное состояние; b-d) результат эквивалентирования.Обратный ход состоит в присвоении значений расходов дочерних связей значениям расходов родительских связей (последовательные связи) и в вычислении значений расходов родительских связей (параллельные связи). Высокоуровневое описание алгоритмов представлено ниже.Equivalenting_forwardВычислить валентность всех узлов графа. Определить количество узлов без нагрузки, валентность которых равна 2 (number_serial).Определить количество параллельных связей (number_parallel).Количество связей new=nlПовторять пока есть последовательные и параллельные связи (number_serial+ number_parallel>0):Если есть последовательные связи (number_serial>0), тоДля каждой немаркированного узла i, валентность которого равна 2, и у которого отсутствует нагрузка:Найти 2 немаркированные связи j1 (i; k1) и j2 (i; k2), инцидентные узлу i;Маркировать найденные связи j1 и j2;Маркировать узел i;Создать новую связь new=new+1 (k1;k2);Вычислить гидравлическое сопротивление связи new по формуле Snew =Sj1+Sj2;Вычислить гидравлическую проводимость связи new Rnew=Snew-2;Сохранить номер связи new как дочерний subsidiary affiliate childдля связей j1 и j2. Определить количество параллельных связей (number_parallel).Если есть параллельные связи (number_parallel>0), тоДля каждой немаркированной связи j (i; k):Найти параллельную ей немаркированную связь j1 (i; k);Маркировать найденные связи j и j1;Создать новый участок new=new+1 (i; k);Вычислить гидравлическую проводимость связи new по формуле Rnew =Rj+Rj1;Вычислить гидравлическое сопротивление связи new по формуле Snew = Rnew-0.5;Сохранить отрицательный номер связи new как дочерний для связей j и j1.Определить количество узлов без нагрузки, валентность которых равна 2 (number_serial). Equivalenting_backДля каждого маркированной связи j, включая новые, начиная с большего номера с шагом -1:Найти узлы (i;k), инцидентные связи j;Вычислить  ;Для каждой немаркированной связи j1, начиная с 1 до j:Найти узлы (i1;k1), инцидентные связи j1;Найти родительскую связь (по совпадению номера дочернего участка j1 c номером j);Если номер дочерней связи >0 (т.е. последовательное соединение), то вычислить расходы на родительских связях:, и. Если номер дочерней связи <0 (т.е. параллельное соединение), то, и.Вычислить Маркировать связь. ВыводыАнализ состояния гидравлических сетей требует проведения расчетов в реальном времени. Этот факт повышает требования к надежности и быстродействию вычислительных процессов.Эквивалентные преобразования сети позволяют существенно уменьшить размерность систем нелинейных уравнений, а в отдельных случаях ликвидировать итерационный процесс, заменив его на последовательные вычисления.Использование в методе узловых давлений нижнего релаксационного множителя обеспечивает быструю и монотонную сходимость итерационного процесса.Приведение матрицы Максвелла к ленточной форме и оптимизация ширины позволяют сократить время проведения одной итерации.