1. Введение Уплотнение застройки, развитие транспортной инфраструктуры в крупных городах приводит к необходимости освоения подземного пространства. Строительство подземных и заглубленных сооружений зачастую ведется в котлованах под защитой гибких подпорных стен, в том числе и стены в грунте траншейного типа.В соответствии с требованиями действующей нормативной документацией при проектировании необходимо учитывать пространственную работу конструкций. Эти положения относятся и к расчетам конструкциям ограждения котлованов, и к расчетам оценки влияния строительства на окружающую застройку. При этом имеющиеся на сегодняшний день программные комплексы, позволяющие решать такие задачи, являются дорогостоящими, требуют определенного уровня дополнительной подготовки инженеров, а их применение не всегда обосновано при решении рядовых задач.Многочисленные исследования ряда авторов из разных стран [2, 3, 4, 5, 8, 13, 16, 18, 20, 22] показывают, что перемещения конструкций ограждения котлованов в угловых зонах значительно меньше, чем в центральных частях. Результаты обзора, приведенные в [1], показали, что вопросы, связанные с работой конструкций ограждения в угловых зонах котлованов в песчаных грунтах, исследованы недостаточно, в том числе из-за крайне малой базы объектов исследований, располагавшихся в песчаных грунтах.В работах C.Y. Ou [17], J.F. Roboski и R.J. Finno [7, 23], R. Fuentes и M. Devriendt [10] представлены графические и аналитические методы оценки перемещений конструкции ограждения котлована в угловой зоне в зависимости от перемещений, рассчитанных в плоской постановке задачи, выражаемые коэффициентом плоской деформации (PSR=δ/δmax), равному отношению перемещений в заданной точке ограждения к максимальным перемещениям ограждения котлована, полученным при выполнении расчетов в плоской постановке задачи. Анализ этих методик показал, что они не являются универсальными и не могут распространяться на все дисперсные грунты. Экспериментальные исследования, проведенные авторами в составе авторского коллектива на опытном участке [1], подтвердили наличие углового эффекта. Выявлено, что в песчаных грунтах данный эффект в плане распространяется на величину, близкую к глубине котлована. При увеличении глубины котлована размер зоны влияния углового эффекта на горизонтальные перемещения ограждения котлована увеличивается.Вместе с тем, в работе [1] показано, что для выполнения численных исследований влияния различных параметров на перемещения конструкции ограждения в угловых зонах котлована рекомендуется использовать модель упрочняющегося грунта, реализованную в программном комплексе PLAXIS 3D.Для изучения влияния на работу конструкции ограждения котлована таких факторов, как механические характеристики грунта, жесткость конструкции ограждения и удерживающей системы, угол между смежными сторонами котлована проведены численные исследования методом конечных элементов, результаты которых изложены ниже. 2. Расчетно-теоретические исследования На расчетно-теоретические исследования поставлены задачи оценки влияния на работу конструкции ограждения котлована в угловой зоне следующих параметров: прочность грунта, деформационные характеристики грунта, жесткость конструкции ограждения котлована, количество ярусов распорной системы, жесткость распорной системы и угол между смежными стенами ограждения.Решение поставленных задач выполнялось численно методом конечных элементов в среде программного геотехнического комплекса PLAXIS 3D с граничными условиями пространства в горизонтальных направлениях, соответствующих на боковых границах свободным перемещениям в вертикальной плоскости и нулевым в горизонтальной, а на нижней горизонтальной границе – нулевым вертикальным и горизонтальным перемещениям. Основание принято однородным изотропным с переменной в плане мощностью и ограничением сжимаемой толщи. При расчетах использовалась модель упрочняющегося грунта (Hardening Soil).Расчеты проводились для различных песчаных грунтов с характеристиками, представленными в таблице 1. Таблица 1Принятые в расчете наборы параметров модели грунта№ ИГЭНаименованиее, д.е.ɣ, кН/м3ɣd, кН/м3w, %φ, ᵒc, кПаΨνurpref, МПаЕ50ref, МПаЕurref, МПаЕoedref, МПаm1Песок средней крупности0,521,117,718,836,341,413,40,20,149,6114,431,50,612Песок мелкий0,521,117,718,840,621,616,10,20,131,3108,925,60,783Песок пылеватый0,521,117,818,741.427.617,60,20,143,8106,047,40,654Песок средней крупности0,5318,717,31036,86,1100,160,0310,4365,17,00,92 В качестве конструкции ограждения котлована принята монолитная железобетонная стена в грунте траншейного типа толщиной 0,4 м, 0,6 м и 0,8 м. Для обеспечения устойчивости ограждения котлована предусматривалась распорная система из стальных труб Ø 530х10 мм, Ø 630х10 мм, Ø 720х10 мм, расположенных с шагом 5 м в плане. Количество ярусов распорок по глубине котлована определялось в зависимости от его глубины.  Анализ влияния геометрических размеров котлованаДля анализа влияния линейных размеров прямоугольного котлована было выполнено 40 расчетов в трехмерной постановке задачи, в рамках которых рассмотрены следующие геометрические размеры котлованов: длина L и ширина B котлована принимались равными 10 м, 20 м, 60 м и 100 м при отношениях B/L равными 0.1, 0.2, 0.33, 0.5, 0.6, 1.0, 2.0, 3.0, 5.0, 6.0, 10.0. Глубина котлована составляла 10 м, 15 м и 20 м при глубине заделки конструкции ограждения ниже уровня дна 5 м, 7 м и 10 м соответственно. Для котлованов глубиной 10 м, 15 м и 20 м принято 2, 3 и 4 яруса распорок соответственно. Характеристики грунта приняты для ИГЭ-1 (см. табл. 1). Ограждение котлована принято толщиной 0,6 м, распорки из стальной трубы Ø 630х10 мм. В результате выполненных расчетов получены горизонтальные перемещения конструкций ограждения котлована, которые были рассмотрены в относительных величинах, значимость которых была установлена в процессе обзора литературных источников [6, 7, 9, 10, 11, 12, 15, 17, 21, 23, 24]. На рис. 1 представлены максимальные горизонтальные перемещения стены ограждения δ(x) длиной L в сечении на расстоянии от угла котлована x, отнесенные к максимальным перемещениям ограждения котлована δmax длиной L=100 м. По оси абсцисс рассматривается отношение расстояние от угла котлована к его глубине x/H.За границу проявления углового эффекта принято расстояние от угла котлована, на котором выполняется условие δ(x)/δmax =0,9 (красная пунктирная линия на рис. 1). Данное условие также было предложено Ou и др. в работе [17], а само отношение δ(x)/δmax обозначается как PSR (plane strain ratio).    Рис. 1. Зависимость относительных перемещений ограждения котлована вдоль стороны L от относительного расстояния от угла.В условных обозначениях записана кодировка геометрических размеров котлована в формате L B H [м] Анализ графиков (рис. 1) позволил выбрать вид функции зависимости PSR от относительного расстояния от угла котлована x/H. Данную функцию можно представить в следующем виде:где PSRa – значение координаты асимптоты по оси ординат δ(x)/δmax, к которой стремиться предложенная функция;b –относительное перемещение угла котлована δ(0)/δmax;α –коэффициент, зависящий от глубины котлована.Для случаев, представленных на рис. 1, когда расстояние действия углового эффекта dmax не превышает L/2, были подобраны параметры функции (1) и сведены в табл. 2. Таблица 2Параметры функции (1) для случаев, когда расстояние действия углового эффекта dmax не превышает L/2LBHαPSRab6060103.110.110020103.110100100103.210.16060103.210.160100103.210.12010103.31.050100100103.310.110060103.310.12020103.5106020103.51020100103.5102060103.5102020103.51010010104.310606015410.26060154.310.2100100154.510.1100100154.510.160100154.510.110060154.710.1100201551020201551020100155102060155106020155.2102020155.3102010155.51010010155.5106010155.510201002061.20601002061.150.15202020610606020610.110020206.210.110060206.210.12020206.5106020206.510100100206.510.152010206.7101001020710601020710206020710 Из таблицы 2 видно, что параметр α зависит только от глубины котлована, а незначительные флуктуации можно списать на погрешность численного решения. Значение PSRa ни от чего не зависит, и всегда будет составлять ≈1,0, кроме случаев, когда зона действия углового эффекта dmax превышает L/2.Регрессионный анализ (рис. 2) данных таблицы 2 позволил выявить линейную зависимость между коэффициентом α и глубиной котлована H (2).  Рис. 2. График зависимости коэффициента a от глубины котлована H  Проведя математические преобразования формулы (1) и приравняв x=dmax,получим уравнение для определения границы углового эффекта при PSR=0,9, а PSRa=1 Влияние величины угла между сторонами котлованаДля исследования влияния угла между сторонами котлована на угловой эффект в ПК PLAXIS 3D была выполнена серия расчетов на модели котлована глубиной 10 м с размерами в плане 60х100 м. Ограждающая конструкция котлована – стена в грунте глубиной 15 м и толщиной 600 мм. Распорная система котлована – два яруса распорок из стальных труб Ø630х10 мм, установленных с шагом в плане 5 м. Угол между сторонами котлована θ принимался равным 45, 60, 75, 90, 105, 120 и 135 градусам соответственно.Исследуемый угловой эффект вдоль стороны котлована оценивался по двум факторам: – Фактор № 1: отношение максимального горизонтального перемещения стороны котлована в угловой зоне к максимальному горизонтальному перемещению стороны котлована в условиях плоской задачи (b=δ(x=0)/δmax).– Фактор № 2: относительная величина зоны распространения углового эффекта (dmax/L).Относительная величина зоны распространения углового эффекта определялась как отношение длины зоны, в пределах которой действует угловой эффект, к полной длине рассматриваемой стороны котлована. Для определения зоны действия углового эффекта применялся следующий критерий: максимальное горизонтальное перемещение в пределах данной зоны составляет менее 0,9 максимального горизонтального перемещения (плоская задача).Результаты расчетов перемещений ограждающей конструкции котлована при различных углах между его сторонами представлены на рисунках 3 – 6. На данных рисунках отображена зависимость между нормализованными перемещениями (δ(x)/δmax) от нормализованного расстояния от угла котлована (x/L) и указаны границы распространения зоны углового эффекта. Из графиков (рис. 3 – 5) видно, что уменьшение угла между сторонами котлована приводит к увеличению зоны распространения углового эффекта (увеличение фактора №2). Наглядно данная зависимость продемонстрирована на рисунке 6. При этом зависимость изменения горизонтальных перемещений угла котлована от величины угла между сторонами (Фактор № 1) носит более сложный, близкий к билинейному, характер (рис. 7). Так при изменении угла θ в диапазоне от 45 до 90 градусов отношение δ(x=0) / δmax претерпевает незначительные изменения, в то время как при увеличении угла θ в диапазоне 90-135 градусов функция постоянно возрастает.Таким образом, можно заключить следующее:1. Величина угла между сторонами котлована существенным образом влияет на угловой эффект;2. Уменьшение угла между сторонами котлована приводит к увеличению зоны распространения углового эффекта.  Рис. 3. Нормализованные перемещения ограждения котлована в зависимости от нормализованного расстояния от угла котлована. Острый угол между сторонами котлована равен 75° Рис. 4. Нормализованные перемещения ограждения котлована в зависимости от нормализованного расстояния от угла котлована. Острый угол между сторонами котлована равен 60° Рис. 5. Нормализованные перемещения ограждения котлована в зависимости от нормализованного расстояния от угла котлована. Острый угол между сторонами котлована равен 45° Рис. 6. Результаты расчетов стены с учетом различных значений внутренних углов между смежными стенками. В легенде цифрами указан внутренний угол между смежными стенками θ, º Рис. 7. Фактор №2 в зависимости от угла между сторонами котлована Рис. 8. Фактор №1 в зависимости от угла между сторонами котлована  По результатам анализа результатов расчетов (рис. 6) в формулу (1) введен поправочный коэффициент β, учитывающий влияния угла между смежными стенами на PSR. В результате чего формулы (1) и (3) примут следующий вид:  где β - коэффициент, учитывающий влияние величины угла между смежными стенками.Графики, представленные на рис. 6, характеризуются следующим набором параметров функции (4) Таблица 3Параметры функции (4)Угол между смежными стенами θ, ºb, д.е.PSRa, д.е.β, д.е.450.0750.931600.0750.951750.030.961900.1111050.180.971.11200.210.971.31350.340.971.4 По результатам регрессионного анализа данных, приведенных в таблице 3, получены зависимости для коэффициентов b и β (6), (7), представленные на рис. 9, 10 (где зеленым показаны графики функций (6), (7), красным – значения при углах θ от 45º до 90º, синим – значения при углах θ от 90º до 135º).  Из графиков (рис. 9, 10) видно, что при значениях угла между смежными стенами котлована θ менее 90 градусов параметр b принимает значения близкие к нулю, в то время как параметр β равен единице. При значении угла θ больше 90 градусов оба параметра имеют линейно возрастающую зависимость, описываемые уравнениями (7). Влияния типа грунта, распорной системы и толщины ограждения котлована на угловой эффектДля исследования влияния вида грунта, распорной системы и толщины ограждения котлована на угловой эффект, в ПК PLAXIS 3D была выполнена серия расчетов. В данных расчетах моделировалась откопка котлована до глубины 10 м с размерами котлована в плане 60 х 60 м. Ограждающая конструкция котлована – стена в грунте высотой 15 м. Распорная система котлована – два яруса распорок из стальных труб, установленных с шагом в плане 5 м. Последовательность устройства котлована для всей серии расчетов - не изменяется.Принятые в расчетах характеристики грунта приведены в табл. 1, жесткости ограждения котлована и распорной системы представлены в табл. 5 и 6. Таблица 5Характеристики распорной системыВид распоркиMaterial typeЖесткость EA, МНEquivalent length, мТруба ø530х10 ммElastic326710,0Труба ø630х10 ммElastic389510,0Труба ø720х10 ммElastic459510,0 Таблица 6Характеристики ограждения котлованаЭквивалентная толщина элемента d, мУдельный вес плиты γ, кН/м3Распределение свойств материалаE1, МПаE2, МПаν12G12, МПаG13, МПаG23, МПа0,40,0Изотропное30000300000,21250012500125000,60,0Изотропное30000300000,21250012500125000,80,0Изотропное30000300000,2125001250012500 Эталонной для данной серии расчетов принята модель с параметрами:грунт: ИГЭ-1 песок средней крупности (см. табл. 1);распорная система: труба Æ 630х10 мм (см. табл. 5);ограждение котлована: толщиной d=0,6 м (см. табл. 6).В ходе анализа результатов расчетов рассматривались перемещения ограждающей конструкции котлована, при изменении одного из параметров согласно таблицам 4, 5, 6.Результаты расчетов перемещений ограждающей конструкции котлована при различных исследуемых параметрах в виде зависимостей нормализованных перемещений (δ(x) / δmax) от отношения расстояния от угла котлована к его глубине (x / H) представлены на рисунках 11 – 13 для половины подпорной стены ввиду симметрии.  Рис. 11. Кривые нормализованных перемещений при различных видах грунта Рис. 12. Кривые нормализованных перемещений при различной жесткости распорок Рис. 13. Кривые нормализованных перемещений при различной жесткости ограждения котлована Как видно из рисунков 11 – 13, изменение типа песчаного грунта и жесткости распорной системы не влияют на угловой эффект, а увеличение жесткости ограждения котлована приводит к увеличению зоны распространения углового эффекта. Для учета влияния жесткости (толщины) ограждения котлована на действие углового эффекта введем в формулы (4) и (5) дополнительный коэффициент η. Тогда получим:  По результатам расчетов определены значения коэффициента η при различной изгибной жесткости конструкции ограждения котлована, соответствующей толщинам 0,4 м, 0,6 м и 0,8 м (рис. 14).  Рис. 14. Зависимость параметра η от изгибной жесткости ограждения Как видно из рисунка 14, зависимость коэффициента η достаточно хорошо описывается линейным уравнением: Методика расчета горизонтальных перемещений конструкции ограждения котлована в угловой зонеНа основании проведенных исследований можно рекомендовать следующую методику расчета конструкции ограждения в угловой зоне котлована, основанную на результатах расчетов в плоской постановке.На первом этапе выполняется расчет перемещений конструкции ограждения котлована в плоской постановке, например, программном комплексе PLAXIS 2D.Далее определяется внутренний угол между смежными стенами конструкции ограждения котлована θ, градус, и изгибная жесткость стены в грунте EI, МН·м2.Из уравнений (2), (6), (7) и (10) определяются значения коэффициентов a, b, β и η.По формуле (9) определяется размер зоны углового эффекта.Расчет горизонтальных перемещений конструкции ограждения котлована в зоне действия углового эффекта производится по следующей зависимости:  3. Заключение В результате проведенных исследований установлено следующее.Горизонтальные перемещения конструкции ограждения снижаются по мере приближения рассматриваемого сечения к углам котлована в результате действия углового эффекта. Логично предположить, что вследствие этого снижаются  усилия в конструкциях ограждения котлована и распорной системы, а также перемещения окружающего массива грунта.Получена эмпирическая зависимость, связывающая между собой перемещения конструкции ограждения котлована в угловых зонах с перемещениями, определяемыми при расчетах в плоской постановке. Размер зоны действия углового эффекта в плане зависит, в первую очередь, от глубины котлована. Также на величину зоны действия углового эффекта и характер распределения горизонтальных перемещений ограждения котлована оказывают влияние ее изгибная жесткость и угол между смежными стенами конструкции ограждения.Размер зоны действия углового эффекта и характер распределения горизонтальных перемещений конструкции ограждения котлована не зависит от жесткости распорной системы и физико-механических свойств песчаных грунтов основания.Дальнейшие исследования предполагается направить на уточнение методики по результатам численных исследований с использованием модели упрочняющегося грунта при малых деформациях (HSS), а также на определение зависимостей перемещений массива грунта в районе угловых зон котлованов для возможности выполнения расчетов оценки влияния устройства глубоких выработок на здания и сооружения окружающей застройки.